Question

【題目】已知奇函數f（x）＝a（a為常數）．

（1）求a的值；

（2）若函數g（x）＝|（2x+1）f（x）|﹣k有2個零點，求實數k的取值范圍；

（3）若x∈[﹣2，﹣1]時，不等式f（x）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）k∈（0，1）；（3）[4，+∞）.

【解析】

（1）由f（x）為R上的奇函數可得f（0）＝0，解方程可得a；

（2）由題意可得方程|2x﹣1|﹣k＝0有2個解，即k＝|2x﹣1|有2個解，即函數y＝k和y＝|2x﹣1|的圖象有2個交點，畫出圖象即可得到所求范圍；

（3）由題意可得m≥2﹣x在x∈[﹣2，﹣1]時恒成立，由g（x）＝2﹣x在R上單調遞減，即可得到所求范圍．

（1）f（x）是定義在R上的奇函數，

可得f（0）＝a﹣1＝0，即a＝1，

可得f（x）＝1，

由f（﹣x）+f（x）0，

即f（x）為R上的奇函數，

故a＝1；

（2）函數g（x）＝|（2x+1）f（x）|﹣k有2個零點

方程|2x﹣1|﹣k＝0有2個解，

即k＝|2x﹣1|有2個解，

即函數y＝k和y＝|2x﹣1|的圖象有2個交點，

由圖象得k∈（0，1）；

（3）x∈[﹣2，﹣1]時，f（x），即1，

即m≥2﹣x在x∈[﹣2，﹣1]時恒成立，

由g（x）＝2﹣x在R上單調遞減，

x∈[﹣2，﹣1]時，g（x）的最大值為g（﹣2）＝4，

則m≥4，即m的取值范圍是[4，+∞）．