Question

【題目】已知函數f（x）=2sin（ωx），其中常數ω＞0
（1）若y=f（x）在[﹣ ， ]上單調遞增，求ω的取值范圍；
（2）令ω=2，將函數y=f（x）的圖象向左平移 個單位，再向上平移1個單位，得到函數y=g（x）的圖象，區間[a，b]（a，b∈R，且a＜b）滿足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30個零點．在所有滿足上述條件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數y=f（x）在 上單調遞增，且ω＞0，

∴ ，且 ，

解得 ．

（2）解：f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的圖象向左平移 個單位，再向上平移1個單位，得到 ，

∴函數y=g（x）= ，

令g（x）=0，得 ，或x= （k∈Z）．

∴相鄰兩個零點之間的距離為 或 ．

若b﹣a最小，則a和b都是零點，此時在區間[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N*）分別恰有3，5，…，2m+1個零點，

所以在區間[a，14π+a]是恰有29個零點，從而在區間（14π+a，b]至少有一個零點，

∴ ．

另一方面，在區間 恰有30個零點，

因此b﹣a的最小值為 ．

【解析】（1）已知函數y=f（x）在 上單調遞增，且ω＞0，利用正弦函數的單調性可得 ，且 ，解出即可；（2）利用變換法則“左加右減，上加下減”即可得到g（x）=2 ．令g（x）=0，即可解出零點的坐標，可得相鄰兩個零點之間的距離．若b﹣a最小，則a和b都是零點，此時在區間[a，mπ+a]（m∈N*）恰有2m+1個零點，所以在區間[a，14π+a]是恰有29個零點，從而在區間（14π+a，b]至少有一個零點，即可得到a，b滿足的條件．進一步即可得出b﹣a的最小值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用正弦函數的單調性和函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數；圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．