Question

【題目】如圖，在多面體中，平面平面，四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，，，.

（1）求證：；

（2）若為線段的中點，求證：平面；

（3）求多面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）由題意結合幾何關系可證得平面，由線面垂直的定義即可證得．

（2）延長交于點，由題意可證得四邊形為平行四邊形，據此結合線面平行的判定定理證明題中的結論即可；

（3）設為中點，連接，．將多面體分割為兩部分，分別求解對應的體積，然后相加即可確定多面體的體積.

（1）證明：因為四邊形為正方形，所以．

又因為平面平面，

且平面平面， 平面，

所以平面．

又平面，所以．

（2）延長交于點，

因為，為中點，

所以≌，

所以．

因為，所以．

由已知，且,

又因為，所以，且，

所以四邊形為平行四邊形，所以．

因為平面，平面，

所以平面．

（3）設為中點，連接，．

由已知，所以平面．

又因為，所以平面，

所以平面平面．

因為，，所以平面，

所以多面體為直三棱柱．

因為，且，

所以．

由已知，且，

所以，且．

又因為，平面，

所以平面．

因為，

所以，

所以．