Question

已知F為拋物線y²=x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側，

OA

•

OB

=2（其中O為坐標原點），則△ABO與△AFO面積之和的最小值是（　　）

• A、2
• B、3
• C、

  17 2

  8

• D、

  10

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：可先設直線方程和點的坐標，聯立直線與拋物線的方程得到一個一元二次方程，再利用韋達定理及

OA

•

OB

=2消元，最后將面積之和表示出來，探求最值問題．

解答： 解：設直線AB的方程為：x=ty+m，點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB與x軸的交點為M（m，0），
由

x=ty+m y2=x

⇒y²-ty-m=0，根據韋達定理有y₁•y₂=-m，
∵

OA

•

OB

=2，∴x₁•x₂+y₁•y₂=2，
結合

y

2 1

=x1及

y

2 2

=x2，得(y1•y2)2+y1•y2-2=0，
∵點A，B位于x軸的兩側，∴y₁•y₂=-2，故m=2．
不妨令點A在x軸上方，則y₁＞0，又F(

1

4

，0)，
∴S_△ABO+S_△AFO=

1

2

×2×(y1-y2)+

1

2

×

1

4

×y1=

9

8

y1+

2

y1

≥2

9 8 y1• 2 y1

=3．
當且僅當

9

8

y1=

2

y1

，即y1=

4

3

時，取“=”號，
∴△ABO與△AFO面積之和的最小值是3，故選B．

點評：求解本題時，應考慮以下幾個要點：
1、聯立直線與拋物線的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韋達定理與已知條件消元，這是處理此類問題的常見模式．
2、求三角形面積時，為使面積的表達式簡單，常根據圖形的特征選擇適當的底與高．
3、利用基本不等式時，應注意“一正，二定，三相等”．