Question

【題目】已知數列和滿足：，，且對一切，均有．

（1）求證：數列為等差數列，并求數列的通項公式；

（2）求數列的前項和；

（3）設，記數列的前項和為，求正整數，使得對任意，均有．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）在等式兩邊同時除以，可得出，利用等差數列的定義可證明出數列為等差數列，求出數列的通項公式，可得出數列的通項公式；

（2）先求出的值，由時，由，可得出，兩式相除可得出的表達式，再對是否滿足在的表達式，即可得出數列的通項公式，再利用等比數列的求和公式求出；

（3）令，利用數列的單調性求出滿足的最大整數的值為，即可得出結論.

（1）由，，

兩邊除以，得，即，所以，數列為等差數列．

，所以，；

（2）當時，.

對任意的，，則；

當時，由可得，

兩式相除得，

滿足，所以，對任意的，，，

即數列是公比為的等比數列，且首項為，因此，；

（3），令，即，即，

構造數列，則，

當時，則有，即；

當時，；

當時，，即，可得.

所以，數列最大項的值為，又，，

當時，.

所以，當時，，此時；當時，，此時.

綜上所述，數列中，最大，因此，.