Question

【題目】如圖，傾斜角為a的直線經過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點．

（1）求拋物線的焦點F的坐標及準線的方程；

（2）若a為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）8

【解析】

試題（1）根據拋物線的標準方程，可求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程；（2）作AC⊥l，BD⊥l，垂足為C，D，求出|FA|，|FB|，即可得到結論

試題解析：（1）解：設拋物線的標準方程為，則，從而因此焦點的坐標為（2，0）．又準線方程的一般式為．從而所求準線l的方程為．

（2）解法一：如圖（21）圖作AC⊥l，BD⊥l，垂足為C、D，則由拋物線的定義知|FA|=|AC|,|FB|=|BD|．

記A的橫坐標別為xx，則|FA|＝|AC|＝解得，

類似地有，解得．

記直線m與AB的交點為E，則

，

所以．故．

解法二：設，，直線AB的斜率為，則直線方程為．

將此式代入,得，故．

記直線m與AB的交點為，則

，，故直線m的方程為．

令y=0,得P的橫坐標故．

從而為定值．