Question

【題目】已知橢圓：的中心為，一個方向向量為的直線與只有一個公共點

（1）若且點在第二象限，求點的坐標；

（2）若經過的直線與垂直，求證：點到直線的距離；

（3）若點、在橢圓上，記直線的斜率為，且為直線的一個法向量，且求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）9

【解析】

（1）設直線的方程為，代入橢圓方程，可得的方程，運用直線和橢圓只有一個公共點，可得，化簡整理，解方程可得的坐標；

（2）設直線，運用（1）求得到直線的距離公式，再由基本不等式可得最大值，即可得證；

（3）直線的方程為，代入橢圓方程，可得交點，求得，同樣將直線代入橢圓方程求得的坐標，可得，化簡整理即可得到所求值．

解：（1）設直線的方程為，代入橢圓方程，

可得，

直線與只有一個公共點，可得，

即有，

化簡可得，

由可得，

由點在第二象限，可得，

即為；

（2）證明：設直線，

由（1）可得，，

則點到直線的距離

，

當且僅當時，取得等號；

（3）由題意可得直線的方程為，

代入橢圓方程，可得，

即有，，

即有，

將直線的方程，代入橢圓方程可得，

，，

即有，

則．