【題目】設點E,F分別是棱長為2的正方體
的棱AB,
的中點.如圖,以C為坐標原點,射線CDCB
分別是x軸y軸z軸的正半軸,建立空間直角坐標系.
(1)求向量
與
的數量積;
(2)若點M,N分別是線段
與線段
上的點,問是否存在直線MN,
平面ABCD?若存在,求點M,N的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】某公司生產的某批產品的銷售量
萬件（生產量與銷售量相等）與促銷費用
萬元滿足
（其中
，
為正常數）．已知生產該產品還需投入成本
萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為
元
件．
（1）將該產品的利潤
萬元表示為促銷費用萬元的函數；
（2）促銷費用投入多少萬元時，該公司的利潤最大？
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【題目】已知數列
和
滿足：
，
，
且對一切，均有
．
（1）求證：數列
為等差數列，并求數列的通項公式；
（2）求數列的前
項和
；
（3）設
，記數列
的前項和為
，求正整數
，使得對任意，均有
．
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【題目】如圖，等腰梯形
中，
，
，E為CD中點，將
沿AE折到
的位置．
（1）證明：
；
（2）當折疊過程中所得四棱錐
體積取最大值時，求直線
與平面
所成角的正弦值．
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【題目】高鐵是我國國家名片之一，高鐵的修建凝聚著中國人的智慧與汗水.如圖所示，B、E、F為山腳兩側共線的三點，在山頂A處測得這三點的俯角分別為
、
、
，計劃沿直線BF開通穿山隧道，現已測得BC、DE、EF三段線段的長度分別為3、1、2.
（1）求出線段AE的長度；
（2）求出隧道CD的長度.
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【題目】已知點
是橢圓
上任一點，點到直線
：
的距離為
，到點
的距離為
，且
，若直線
與橢圓交于不同兩點
、
（、都在
軸上方），且
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）當為橢圓與
軸正半軸的交點時，求直線的方程；
（3）對于動直線，是否存在一個定點，無論
如何變化，直線總經過此定點？若存在，求出定點的坐標，若不存在，請說明理由.
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【題目】等差數列
首項和公差都是
，記的前n項和為
，等比數列
各項均為正數，公比為q，記的前n項和為
：
（1）寫出
構成的集合A；
（2）若將中的整數項按從小到大的順序構成數列
，求的一個通項公式；
（3）若q為正整數，問是否存在大于1的正整數k，使得
同時為（1）中集合A的元素？若存在，寫出所有符合條件的的通項公式，若不存在，請說明理由.
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【題目】已知正項數列
，
滿足：對任意正整數
，都有
，
，
成等差數列，，，
成等比數列，且
，
．
（Ⅰ）求證：數列
是等差數列；
（Ⅱ）求數列，的通項公式；
（Ⅲ）設
=
+
+…+
，如果對任意的正整數，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍．
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【題目】已知
、
為橢圓
（
）和雙曲線
的公共頂點，
、
分為雙曲線和橢圓上不同于、的動點，且滿足
，設直線
、
、
、
的斜率分別為
、
、
、
.
（1）求證：點、、
三點共線；
（2）求
的值；
（3）若
、
分別為橢圓和雙曲線的右焦點，且
，求
的值.
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