Question

【題目】拋物線的方程為，過拋物線上一點作斜率為的兩條直線分別交拋物線于兩點（三點互不相同），且滿足：

（1）求拋物線的焦點坐標和準線方程；

（2）當時，若點的坐標為，求為鈍角時點的縱坐標的取值范圍；

（3）設直線上一點，滿足，證明線段的中點在軸上；

Answer 1

【答案】（1）焦點，準線；（2）或；（3）證明見解析；

【解析】

（1）數形結合，依據拋物線C的標準方程寫出焦點坐標和準線方程；

（2）為鈍角時，必有,用表示，通過的范圍可得的范圍；

（3）先根據條件求出點M的橫坐標，利用一元二次方程根與系數的關系，證明，可得的中點在軸上.

解：（1）由拋物線的方程為可得，焦點，準線；

（2）由點在上，可得，所以拋物線為，

設直線的直線方程，直線的直線方程,

點與是方程組的解，將②式代入①式得，

，可得 ③，可得

點與是方程組的解，將⑤式代入⑤式得，

，可得 ，，

由已知得：，則 ⑥，

由③可得，代入，可得，

將代入⑥可得，代入，可得，

可得直線、分別與拋物線C得交點坐標為，

,于是,,

,

因為為鈍角且三點互不相同，故必有，

可得得取值范圍是，或，

又點得縱坐標滿足，當，；

當時，，

故的取值范圍：或；

（3）設點得坐標為,由，則，

將③與⑥式代入可得：，即，即線段的中點在軸上.