Question

3．已知曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=m+\sqrt{5}cosα\\ y=m+\sqrt{5}sinα\end{array}\right.$（α為參數，0≤α＜2π），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρsinθ-2ρcosθ=t．其中t＞0，m＞0，m-t=3．
（Ⅰ）若曲線C₁與曲線C₂只有一個公共點，求實數m，t的值；
（Ⅱ）若曲線C₁與曲線C₂的交點為A，B，求AB中點D，求AB中點D的軌跡的普通方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別求出C₁和C₂的普通方程，得到關于m，t的方程組，解出即可；
（Ⅱ）聯立C₁和C₂，根據二次函數的性質得到△＞0，求出m的范圍，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x，y），求出x，y，求出點D的軌跡的普通方程即可．

解答 解：（Ⅰ）由題可知，曲線C₁的普通方程為（x-m）²+（y-m）²=5；
曲線C₂的直角坐標方程為2x-y+t=0．
∵曲線C₁與曲線C₂只有一個公共點，
∴$\frac{|m+t|}{{\sqrt{{1^2}+{2^2}}}}=\sqrt{5}$，解得m+t=5，
又m-t=3，∴m=4，t=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲線C₁的普通方程為（x-m）²+（y-m）²=5；
曲線C₂的直角坐標方程為2x-y+m-3=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{（x-m）^2}+{（y-m）^2}=5\\ y=2x+m-3\end{array}\right.$得5x²-2（m+6）x+m²+4=0，
依題意得△=4（m+6）²-20（m²+4）＞0，解得-1＜m＜4，
又m＞0，∴0＜m＜4．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x，y），則${x_1}+{x_2}=\frac{2（m+6）}{5}$，
∴$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{m+6}{5}$，$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{7m-3}{5}$，
即$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{m+6}{5}\\ y=\frac{7m-3}{5}\end{array}\right.$消參數m得7x-y-9=0（$\frac{6}{5}＜x＜2$）．
∴點D的軌跡的普通方程為7x-y-9=0（$\frac{6}{5}＜x＜2$）．

點評 本題考查了極坐標方程以及普通方程的轉化，考查二次函數的性質以及轉化思想，是一道中檔題．