Question

15．設函數f（x）=$\sqrt{3}$sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）（ω＞0），直線y=$\sqrt{3}$與函數f（x）圖象相鄰兩交點的距離為π．
（1）求ω的值；
（2）若g（x）=af（x）+b在[0，$\frac{π}{2}}$]上的最大值為$\frac{5}{2}$+$\sqrt{3}$，最小值為1，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）根據直線y=$\sqrt{3}$與函數f（x）圖象相鄰兩交點的距離為π，可得函數f（x）的周期T=π，即可求ω的值．
（2）根據x在[0，$\frac{π}{2}}$]上，求出f（x）的最值，對a進行討論．即可求出a，b的值．可得a+b的值．

解答 解：（1）函數f（x）=$\sqrt{3}$sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）（ω＞0），
∵f（x）的最大值為$\sqrt{3}$，直線y=$\sqrt{3}$與函數f（x）圖象相鄰兩交點的距離為π．
∴函數f（x）的周期T=$\frac{2π}{2ω}$=π．
∴ω=1．
故得f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}}$]上時，
可得：2x-$\frac{π}{3}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]．
當2x-$\frac{π}{3}$=$-\frac{π}{3}$時，f（x）取得最小值為：$\sqrt{3}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）$=$-\frac{3}{2}$．
當2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最大值為：$\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$．
當a＞0時，g（x）=af（x）+b在[0，$\frac{π}{2}}$]上的最大值為$\sqrt{3}$a+b．
可得：$\sqrt{3}$a+b=$\frac{5}{2}$+$\sqrt{3}$…①，
最小值為$-\frac{3}{2}$a+b=1…②
由①②解得：a=1，b=$\frac{5}{2}$．
則：a+b=1+$\frac{5}{2}$=$\frac{7}{2}$．
當a＜0時，g（x）=af（x）+b在[0，$\frac{π}{2}}$]上的最大值為$-\frac{3}{2}$a+b．
可得：$-\frac{3}{2}$a+b=$\frac{5}{2}$+$\sqrt{3}$…③，
最小值為$\sqrt{3}$a+b=1…④
由③④解得：a=-1，b=$\sqrt{3}$+1．
則：a+b=-1+1+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．