Question

13．已知f（x）=ax-lnx，其中x∈（0，e]（e是自然對數的底數），
（1）當a=1時，求f（x）的單調區間、極值；
（2）是否存在a∈R，使f（x）的最小值是3，若存在求出a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）f（x）=ax-lnx，（x∈（0，e]），a=1時，f′（x）=$\frac{x-1}{x}$，可知：f（x）的極小值為f（1）．
（2）假設存在實數a，使f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，f′（x）=$\frac{ax-1}{x}$．對a分類討論，利用導數研究函數的單調性即可得出．

解答 解：（1）∵f（x）=ax-lnx，（x∈（0，e]），∴f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，
a=1時，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
∴當0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時f（x）單調遞減．
當1＜x＜e時，f′（x）＞0，此時f（x）單調遞增．
∴f（x）的極小值為f（1）=1．
（2）假設存在實數a，使f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，
f′（x）=$\frac{ax-1}{x}$．
①當a≤0時，f（x）在（0，e]上單調遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，解得a=$\frac{4}{e}$（舍去），
∴此時f（x）無最小值．
②當$0＜\frac{1}{a}$＜e時，f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$上單調遞減，在$（\frac{1}{a}，e]$上單調遞增．
f（x）_min=f$（\frac{1}{a}）$=1+lna=3，a=e²，滿足條件．
③當$\frac{1}{a}$≥e時，f（x）在（0，e]上單調遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，解得a=$\frac{4}{e}$（舍去）
∴此時f（e）無最小值．
綜上，存在實數a=e²，使得當x∈（0，e]時，f（x）有最小值3．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、分類討論方法、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．