Question

9．在封閉直三棱柱ABC-A₁B₁C₁內有一個體積為V的球，若AB⊥BC，AB=15，BC=8，AA₁=5，則V的最大值是（　　）

• A． $\frac{9π}{2}$
• B． $\frac{125π}{6}$
• C． $\frac{32π}{3}$
• D． 36π

Answer 1

分析 要使球的體積V最大，必須使球的半徑R最大．因為△ABC內切圓的半徑為2，所以由題意易知球與直三棱柱的上、下底面都相切時，球的半徑取得最大值，求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁內切球半徑即可

解答 解：要使球的體積V最大，必須使球的半徑R最大．
Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=15，BC=8，∴AC=12，△ABC內切圓的半徑為r=3，所以由題意易知球與直三棱柱的上、下底面都相切時，球的半徑取得最大值為$\frac{5}{2}$．
此時球的體積為$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{125}{6}π$，
故選：B．

點評 本題考查了棱柱的內切球的體積，解題關鍵在于確定球何時半徑最大，屬于基礎題．