Question

已知直線l與函數y=x²的圖象交于A，B兩點，且線段AB與函數y=x²的圖象圍成的圖形面積為

4

3

，則線段AB的中點P的軌跡方程為

 

．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出直線l的方程和A，B，P的坐標，聯立直線方程和拋物線方程，利用根與系數關系得到A，B橫坐標的和與積，再利用積分求面積得到(x2-x1)2=4．然后結合中點坐標公式及點A，B在拋物線上求得線段AB的中點P的軌跡方程．

解答： 解：設直線l：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
則x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

  ①
聯立

y=kx+m y=x2

，得：x²-kx-m=0．
則△=k²+4m＞0，且x₁+x₂=k，x₁x₂=-m  ②
不妨設x₁＜x₂，
由題意得：

∫

x2 x1

(kx+m-x2)dx=

4

3

，
即(x2-x1)[

k

2

(x1+x2)+m-

x12+x1x2+x22

3

]=

4

3

  ③
將②代入③化簡得：(x2-x1)3=8，即(x2-x1)2=4．
∴(x1+x2)2-4x1x2=4  ④
又∵y1=x12，y2=x22，
∴y=

y1+y2

2

=

x12+x22

2

=

4+2x1x2

2

=2+x1x2，
故x₁x₂=y-2，
而x₁+x₂=2x，代入④得y=x²+1．
故答案為：y=x²+1．

點評：本題考查軌跡方程，解答的關鍵在于靈活運用線段AB與拋物線所圍成圖形的面積，考查了定積分，體現了整體運算思想方法，考查學生的靈活變形和計算能力，是壓軸題．