Question

已知數列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=a_n²-na_n+λ（n∈N^*，λ∈R）．
（Ⅰ）對?n∈N^*，a_n≥2n恒成立的充要條件為λ≥-2；
（Ⅱ）若λ=-2，證明：

1

a1-2

+

1

a2-2

+…+

1

an-2

＜2．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（Ⅰ）根據充要條件的定義分別證明充分性和必要性，即可得到證明對?n∈N^*，a_n≥2n恒成立的充要條件為λ≥-2；
（Ⅱ）根據數列的通項公式，利用放縮法，即可證明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）先證明必要性：由題意知?n∈N^*，a_n≥2n恒成立，
則當n=2時，a₂=6+λ≥2×2，得出λ≥-2，成立．
充分性：當n=2時，顯然成立，
假設當n=k，（k≥2）時，a_k≥2k成立，
則當n=k+1時，a_k+1=a_k²-ka_k+λ=a_k（a_k-k）+λ≥2k²-2=2（k+1）（k-1）≥2（k+1），
故對所有的n≥2，有a_n≥2n恒成立，
故a_n≥2n恒成立的充要條件為λ≥-2．
（Ⅱ）當λ=-2．時，a_n≥2n，
即a_n+1-2=a_n²-na_n-4=a_n（a_n-n）-4≥na_n-4≥2（a_n-2）＞0，（n≥2），
則

1

an-2

≤

1

2

×

1

an-1-2

≤…≤

1

2n-2

×

1

a2-2

=

1

2n-1

，（n≥3）

1

a1-2

+

1

a2-2

+…+

1

an-2

＜1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=2-

1

2n-1

＜2．
即不等式成立．

點評：本題主要考查充要條件的證明，以及數學歸納法的應用，綜合性較強，運算量較大．