學法大視野九年級數學華師大版
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3.下列各數中，與$\sqrt{3}$的積仍為無理數的是（ ）
（A）$\sqrt{\frac{1}{27}}$
（B）$\sqrt{18}$
（C）$\sqrt{\frac{4}{3}}$
（D）$\sqrt{\frac{1}{12}}$
答案：B
解析：A選項$\sqrt{\frac{1}{27}}×\sqrt{3}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$（有理數）；B選項$\sqrt{18}×\sqrt{3}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}$（無理數）；C選項$\sqrt{\frac{4}{3}}×\sqrt{3}=2$（有理數）；D選項$\sqrt{\frac{1}{12}}×\sqrt{3}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$（有理數）。
4.（2024全國課后作業）已知x是整數，$\sqrt{3}\cdot\sqrt{\frac{6}{x}}$是整數，則x的最小值為（ ）
（A）2
（B）3
（C）4
（D）18
答案：A
解析：$\sqrt{3}\cdot\sqrt{\frac{6}{x}}=\sqrt{\frac{18}{x}}=\frac{3\sqrt{2x}}{x}$，要使其為整數，$2x$是完全平方數，x最小為2。
5.已知$\sqrt{8}×\sqrt{n}=4$，則$n=$______.
答案：2
解析：$\sqrt{8n}=4$，$8n=16$，$n=2$。
6.計算：（1）$\sqrt{2}×\sqrt{3}×\sqrt{6}=$______；（2）$\sqrt{2x}\cdot\sqrt{\frac{x}{2}}(x＞0)=$______.
答案：（1）6；（2）x
解析：（1）$\sqrt{2×3×6}=\sqrt{36}=6$；（2）$\sqrt{2x\cdot\frac{x}{2}}=\sqrt{x^{2}}=x$（$x＞0$）。
7.一個直角三角形的兩條直角邊分別為$a=\sqrt{13}$cm，$b=2\sqrt{2}$cm，那么這個直角三角形的面積為______$cm^{2}$.
答案：$\sqrt{26}$
解析：面積$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×\sqrt{13}×2\sqrt{2}=\sqrt{26}$。
8.已知a，b滿足$\sqrt{4a - 5b}+\sqrt{a - b - 1}=0$，則$\sqrt{ab}\cdot\sqrt{\frac{a}{b}}$的值為______.
答案：5
解析：由非負性得$\begin{cases}4a - 5b=0\\a - b - 1=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=5\\b=4\end{cases}$。原式$=\sqrt{ab\cdot\frac{a}{b}}=\sqrt{a^{2}}=a=5$。
9.計算：
（1）$\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{48}$；
（2）$4\sqrt{xy}\cdot\sqrt{\frac{1}{y}}(x\geqslant0,y＞0)$；
（3）$6\sqrt{8}×(-3\sqrt{2})$；
（4）$\sqrt{a^{5}}\cdot\sqrt{ab}\cdot\sqrt{\frac{1}{b}}(a\geqslant0,b＞0)$.
答案：（1）4；（2）$4\sqrt{x}$；（3）-72；（4）$a^{3}$
解析：（1）$\sqrt{\frac{1}{3}×48}=\sqrt{16}=4$；
（2）$4\sqrt{xy\cdot\frac{1}{y}}=4\sqrt{x}$；
（3）$6×(-3)×\sqrt{8×2}=-18×4=-72$；
（4）$\sqrt{a^{5}\cdot ab\cdot\frac{1}{b}}=\sqrt{a^{6}}=a^{3}$。
10.化簡：$\sqrt{(-4)×(-9)}$。解：原式$=\sqrt{-4}×\sqrt{-9}=(-2)×(-3)=6$，以上解答過程正確嗎？若不正確，請改正。
答案：不正確，改正：$\sqrt{(-4)×(-9)}=\sqrt{36}=6$
解析：二次根式乘法法則$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的條件是$a\geqslant0$，$b\geqslant0$，負數沒有算術平方根，不能直接拆分。
11.（選做題）觀察下列等式，并解答問題：
第1個等式：$\sqrt{1}×\sqrt{3}=\sqrt{2^{2}-1}$；
第2個等式：$\sqrt{2}×\sqrt{4}=\sqrt{3^{2}-1}$；
第3個等式：$\sqrt{3}×\sqrt{5}=\sqrt{4^{2}-1}$；
……
請直接寫出第5個等式，并用含n（n為正整數）的等式表示發現的規律，并證明這個規律。
答案：第5個等式：$\sqrt{5}×\sqrt{7}=\sqrt{6^{2}-1}$；規律：$\sqrt{n}×\sqrt{n + 2}=\sqrt{(n + 1)^{2}-1}$（n為正整數）
證明：左邊$=\sqrt{n(n + 2)}=\sqrt{n^{2}+2n}$，右邊$=\sqrt{(n + 1)^{2}-1}=\sqrt{n^{2}+2n + 1 - 1}=\sqrt{n^{2}+2n}$，左邊=右邊，規律成立。
