學法大視野九年級數學華師大版
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4.若式子$\frac{1}{\sqrt{-a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}$在實數范圍內有意義，則點P（a，b）在（ ）
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
答案：B
解析：要使式子有意義，$\sqrt{-a}$中$-a＞0$，即$a＜0$；$\sqrt{b}$中$b＞0$。所以點P（a，b）在第二象限。
5.若2，5，n為三角形的三邊長，則化簡$\sqrt{(3 - n)^{2}}+\sqrt{(8 - n)^{2}}$的結果為（ ）
（A）5
（B）$2n - 11$
（C）$11 - 2n$
（D）-5
答案：A
解析：由三角形三邊關系得$5 - 2 ＜ n ＜ 5 + 2$，即$3 ＜ n ＜ 7$。所以$3 - n ＜ 0$，$8 - n ＞ 0$。原式$=n - 3 + 8 - n=5$。
6.已知x為正整數，寫出一個使$\sqrt{x - 3}$在實數范圍內沒有意義的x值是______.
答案：1（答案不唯一）
解析：$\sqrt{x - 3}$沒有意義，則$x - 3 ＜ 0$，即$x ＜ 3$，正整數x可以是1或2。
7.化簡：$\sqrt{(\sqrt{7}-3)^{2}}=$______.
答案：3 - $\sqrt{7}$
解析：因為$\sqrt{7}＜3$，所以$\sqrt{7}-3＜0$，$\sqrt{(\sqrt{7}-3)^{2}}=3 - \sqrt{7}$。
8.若$|a|=4$，$\sqrt{b^{2}}=3$，且$a + b＞0$，則$a + b$的值是______.
答案：7或1
解析：由$|a|=4$得$a=\pm4$；由$\sqrt{b^{2}}=3$得$b=\pm3$。當$a=4$，$b=3$時，$a + b=7$；當$a=4$，$b=-3$時，$a + b=1$；當$a=-4$時，無論$b$為3或-3，$a + b$都小于0，舍去。所以$a + b=7$或1。
9.計算：
（1）$(\sqrt{\frac{3}{7}})^{2}$；
（2）$(2\sqrt{3})^{2}$；
（3）$\sqrt{(-6)^{2}}$；
（4）$-\sqrt{(-\frac{1}{8})^{2}}$.
答案：（1）$\frac{3}{7}$；（2）12；（3）6；（4）$-\frac{1}{8}$
解析：（1）$(\sqrt{\frac{3}{7}})^{2}=\frac{3}{7}$；（2）$(2\sqrt{3})^{2}=2^{2}×(\sqrt{3})^{2}=4×3=12$；（3）$\sqrt{(-6)^{2}}=\sqrt{36}=6$；（4）$-\sqrt{(-\frac{1}{8})^{2}}=-\sqrt{\frac{1}{64}}=-\frac{1}{8}$。
10.x是怎樣的實數時，下列二次根式有意義？
（1）$\sqrt{5 - x}$；
（2）$\sqrt{\frac{1}{x - 3}}$；
（3）$\sqrt{a - 1}+\sqrt{6 - a}$；
（4）$\sqrt{x^{2}+2x + 2}$.
答案：（1）$x\leqslant5$；（2）$x＞3$；（3）$1\leqslant a\leqslant6$；（4）全體實數
解析：（1）$5 - x\geqslant0$，解得$x\leqslant5$；（2）$\frac{1}{x - 3}\geqslant0$且$x - 3\neq0$，即$x - 3＞0$，$x＞3$；（3）$a - 1\geqslant0$且$6 - a\geqslant0$，解得$1\leqslant a\leqslant6$；（4）$x^{2}+2x + 2=(x + 1)^{2}+1\geqslant1＞0$，全體實數都有意義。
11.若a，b為實數，且$b=\frac{\sqrt{a^{2}-9}+\sqrt{9 - a^{2}}}{a + 3}+4$，求$a + b$的值.
答案：7
解析：由題意得$\begin{cases}a^{2}-9\geqslant0\\9 - a^{2}\geqslant0\\a + 3\neq0\end{cases}$，解得$a=3$。將$a=3$代入$b$，得$b=0 + 4=4$，所以$a + b=3 + 4=7$。
12.（2024宜春模擬）【探究新知】（1）若$(\sqrt{a})^{2}=a$，則a的取值范圍是______；
【知識應用】（2）若$|a + b + 1|+\sqrt{a - 2b + 4}=0$，求$(a + b)^{2025}$的值；
【拓展應用】（3）若$|2025 - a|+\sqrt{a - 2026}=a$，求$a - 2025^{2}$的值.
答案：（1）$a\geqslant0$；（2）-1；（3）2026
解析：（1）$(\sqrt{a})^{2}=a$成立的條件是$a\geqslant0$；
（2）由非負性得$\begin{cases}a + b + 1=0\\a - 2b + 4=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-2\\b=1\end{cases}$，$(a + b)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$；
（3）由$\sqrt{a - 2026}$有意義得$a\geqslant2026$，原式可化為$a - 2025+\sqrt{a - 2026}=a$，$\sqrt{a - 2026}=2025$，$a=2025^{2}+2026$，所以$a - 2025^{2}=2026$。
