學(xué)法大視野九年級數(shù)學(xué)華師大版
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【例1】代數(shù)式$\frac{1}{\sqrt{x-1}}$在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（ ）
（A）$x＜1$
（B）$x\leqslant1$
（C）$x＞1$
（D）$x\geqslant1$
答案：C
解析：要使代數(shù)式$\frac{1}{\sqrt{x-1}}$有意義，分母$\sqrt{x-1}\neq0$且被開方數(shù)$x-1\geqslant0$。$x-1\geqslant0$解得$x\geqslant1$，又因為分母不為0，所以$x-1＞0$，即$x＞1$。
變式訓(xùn)練1-1：（2023丹東）若代數(shù)式$\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是______.
答案：$x\geqslant-2$且$x\neq1$
解析：要使代數(shù)式有意義，分子中被開方數(shù)$x+2\geqslant0$，解得$x\geqslant-2$；分母$x-1\neq0$，解得$x\neq1$。所以$x$的取值范圍是$x\geqslant-2$且$x\neq1$。
變式訓(xùn)練1-2：若$y=\sqrt{x-\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}-x}-6$，則$xy=$______.
答案：-3
解析：由二次根式有意義的條件可得$x-\frac{1}{2}\geqslant0$且$\frac{1}{2}-x\geqslant0$，解得$x=\frac{1}{2}$。將$x=\frac{1}{2}$代入$y$，得$y=0+0-6=-6$，所以$xy=\frac{1}{2}×(-6)=-3$。
【例2】實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，則化簡$\sqrt{a^{2}}-\sqrt{b^{2}}-\sqrt{(a-b)^{2}}$的結(jié)果是（ ）
（A）$-2b$
（B）$-2a$
（C）$2b-2a$
（D）0
圖：數(shù)軸上a在-1和0之間，b在1和2之間
答案：A
解析：由數(shù)軸可知$a＜0$，$b＞0$，$a-b＜0$。$\sqrt{a^{2}}=-a$，$\sqrt{b^{2}}=b$，$\sqrt{(a-b)^{2}}=b-a$。原式$=-a - b-(b - a)=-a - b - b + a=-2b$。
變式訓(xùn)練2-1：計算：（1）$(-\sqrt{2})^{2}=$______；（2）$\sqrt{(-2)^{2}}=$______.
答案：（1）2；（2）2
解析：（1）$(-\sqrt{2})^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2$；（2）$\sqrt{(-2)^{2}}=\sqrt{4}=2$。
變式訓(xùn)練2-2：實數(shù)m在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡：$\sqrt{(m-2)^{2}}=$______.
圖：數(shù)軸上m在1和2之間
答案：2 - m
解析：由數(shù)軸可知$m＜2$，所以$m - 2＜0$，$\sqrt{(m - 2)^{2}}=2 - m$。
1.（2024長沙模擬）下列式子是二次根式的是（ ）
（A）$\sqrt{5}$
（B）$\sqrt{-2}$
（C）$\sqrt{2 - \pi}$
（D）$\sqrt[3]{3}$
答案：A
解析：二次根式要求被開方數(shù)非負(fù)且根指數(shù)為2。選項B中被開方數(shù)$-2＜0$；選項C中$2 - \pi＜0$；選項D根指數(shù)是3，不是二次根式；選項A符合二次根式定義。
2.（2023通遼）已知二次根式$\sqrt{1 - x}$在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（ ）
選項數(shù)軸圖：A選項從1向右；B選項從1向左（含1）；C選項從1向左（不含1）；D選項從1向右（含1）
答案：C
3.下列計算正確的是（ ）
（A）$\sqrt{9}=\pm3$
（B）$\sqrt{(\frac{4}{9})^{2}}=\frac{2}{3}$
（C）$\sqrt{(-5)^{2}}=-5$
（D）$\sqrt{1\frac{7}{9}}=\frac{4}{3}$
答案：D
解析：選項A，$\sqrt{9}=3$，不是$\pm3$；選項B，$\sqrt{(\frac{4}{9})^{2}}=\frac{4}{9}$；選項C，$\sqrt{(-5)^{2}}=5$；選項D，$\sqrt{1\frac{7}{9}}=\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}$，正確。
