Question

【題目】如圖，拋物線與軸相交于兩點，點在點的右側，與軸相交于點.

求點的坐標；

在拋物線的對稱軸上有一點，使的值最小，求點的坐標；

點為軸上一動點，在拋物線上是否存在一點，使以四點構成的四邊形為平行四邊形?若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）點的坐標為，或.

【解析】

（1）把y=0代入函數解析式，解方程可求得A、B兩點的坐標；把x=0代入函數解析式可求得C點的坐標.
（2）連接BC，交對稱軸于P，P即為使PB+PC的值最小，設直線BC的解析式，把B、C的坐標代入即可求得系數，進而求得解析式，令x=2時，即可求得P的坐標；
（3）分兩種情況：
①當存在的點N在x軸的上方時，根據對稱性可得點N的坐標為（4，）；
②當存在的點N在x軸下方時，作輔助線，構建三角形全等，證明得，即N點的縱坐標為-，列方程可得N的坐標．

（1）當時，

當時，，化簡，得

.

解得.

連接，交對稱軸于點，連接.

點和點關于拋物線的對稱軸對稱，

.要使的值最小，則應使的值最小，

所以與對稱軸的交點使得的值最小.

設的解析式為.

將代入，

可得，

解得，

拋物線的對稱軸為直線

當時，，

①當在軸上方，

此時，且.則

四邊形是平行四邊形.

②當在軸下方;

作，交于點.

如果四邊形是平行四邊形.

.

.

又，

.

當時，

，

綜上所述，點的坐標為，或.