Question

【題目】在△ABC中，∠ABC＝90°，

（1）如圖1，分別過A，C兩點作經過點B的直線的垂線，垂足分別為M、N，求證：△ABM～△BCN；

（2）如圖2，P是邊BC上一點，∠BAP＝∠C，PM⊥PA交AC于點M，＝，求的值；

（3）如圖3，D是邊CA延長線上一點，AE＝AB，∠DEB＝90°，AD：BC：AC＝2：3：5，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據同角的余角相等得到∠MAB＝∠NBC，根據兩角對應相等的兩個三角形相似證明結論；

（2）過點P作PD⊥AM于D．證明△PDM∽△APM，根據相似三角形的性質得到，設DM＝2a，根據勾股定理求出PM，證明△CDP∽△CBA，根據相似三角形的性質解答即可；

（3）根據平行線的性質得到，根據相似三角形的性質得到，設BG＝4m，AG＝4n，根據求出n＝2m，計算即可．

（1）證明：∵AM⊥MN，

∴∠MAB+∠MBA＝90°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠CBN+∠MBA＝90°，

∴∠MAB＝∠NBC，又∠AMB＝∠BNC＝90°，

∴△ABM～△BCN；

（2）解：過點P作PD⊥AM于D．

∴∠BAP+∠APB＝∠CPM+∠APB＝90°，

∴∠BAP＝∠CPM＝∠C，

∴MP＝MC，

∵PM⊥PA，PD⊥AM，

∴△PDM∽△APM，

∵

設DM＝2a，則

由勾股定理得，

∴CD＝DM+CM＝DM+PM＝5a

則

∵∠CDP＝∠CBA＝90°，∠C＝∠C，

∴△CDP∽△CBA，

∴

（3）解：過點A作AG⊥BE于G，過點C作CH⊥BE交EB的延長線于H，

∵∠DEB＝90°，

∴CH∥AG∥DE，

∴

∵BC：AC＝3：5，

∴BC：AB＝3：4，

由（1）可知，△ABG∽△BCH，

∴

設BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n，

∵AB＝AE，AG⊥BE，

∴EG＝BG＝4m，

∴GH＝BG+BH＝4m+3n，

∵

∴

解得，n＝2m，

AG＝4n＝8m，BH＝3n＝6m，

由勾股定理得

BE＝2BG＝8m，

∴