Question

1．如圖，在⊙O中，直徑AB=4，點C在⊙O上，且∠AOC=60°，連接BC，點P在BC上（點P不與點B，C重合），連接OP并延長交⊙O于點M，過P作PQ⊥OM交$\widehat{AM}$于點Q．
（1）求BC的長；
（2）當PQ∥AB時，求PQ的長；
（3）點P在BC上移動，當PQ的長取最大值時，試判斷四邊形OBMC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，根據BC=AB•sin60°計算即可．
（2）在Rt△POB中，求出OP，再根據勾股定理即可計算．
（3）因為PQ=$\sqrt{O{Q}^{2}-O{P}^{2}}$，OQ是定值，所以OP最小時，PQ最長，所以當OM⊥BC時，OP最短，此時PQ最長，由此即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，連接AC．

∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AB=4，
∴BC=AB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．

（2）如圖2中，連接OQ．

∵PQ∥AB，PQ⊥OM，
∴OM⊥AB，
∴∠POB=90°，∵∠B=30°，
∴OP=OB•tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△OPQ中，PQ=$\sqrt{O{Q}^{2}-O{P}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

（3）如圖3中，

∵PQ=$\sqrt{O{Q}^{2}-O{P}^{2}}$，OQ是定值，
∴OP最小時，PQ最長，
∴當OM⊥BC時，OP最短，此時PQ最長，PQ=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∴PQ的最大值為$\sqrt{3}$．
此時四邊形OBMC為菱形．
理由：連接BM、CM．
∵OM⊥BC，OC=OB，
∴∠POB=∠POC=60°，
∵OB=OM=OC，
∴△OMB，△OCM是等邊三角形，
∴OC=OB=BM=CM，
∴四邊形OBMC是菱形．

點評 本題考查圓綜合題、銳角三角函數、勾股定理、垂線段最短等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，學會利用垂線段最短解決最值問題，屬于中考常考題型．