Question

13．如圖①，△ABC的兩條平分線AD、BE相交于點P，若∠C=70°，求∠APB的度數．
如圖②，P是△ABC內一點，且PA平分∠CAB，PB平分∠CBA，求證：∠APB=90°+$\frac{1}{2}$∠C．

Answer 1

分析 （1）先根據直角三角形的性質求出∠CAB+∠ABC的度數，再根據角平分線的定義得出∠PAB+∠ABP的度數，由三角形內角和定理即可得出結論；
（2）根據角平分線的定義和三角形的內角和定理求出∠CAB+∠CBA的值，再利用三角形的內角和定理求出∠APB的值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，∠C=70°，
∴∠CAB+∠ABC=110°，
∵∠A、∠B的平分線相交于點P，
∴∠PAB+∠ABP=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠ABC）=$\frac{1}{2}$×110°=55°，
∴∠APB=180°-（∠PAB+∠ABP）=180°-55°=125°；

（2）∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBA，
∴∠PAB=∠PAC=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠CPB=∠ABP=$\frac{1}{2}$∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠CBA）=$\frac{180°-∠C}{2}$，
∴在△APB中，
∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°
∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=180°-$\frac{180°-∠C}{2}$=$\frac{1}{2}$∠ACB+90°．

點評 本題考查的是三角形內角和定理及角平分線的定義，熟知三角形的內角和是180°是解答此題的關鍵．