Question

19．拋物線y=-x²+（2m+3）x+5m+$\frac{5}{2}$與x軸交于A（-1，0），B（x₂，0）兩點，
（1）求該拋物線的解析式；
（2）拋物線與y軸交于點C，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）拋物線的頂點為D，對稱軸與x軸交于點H，點G是線段DH上任意一點，連接GB，點P從拋物線的頂點D出發，先沿拋物線的對稱軸到達點G，再沿GB到達點B，若點P在對稱軸的運動速度是5v，它在直線GB上運動的速度為3v，試確定點G的位置，使得點P按照上述方法到達B所用時間最短．

Answer 1

分析 （1）把A點坐標代入拋物線解析式可求得m的值，可求得拋物線解析式；
（2）由A、B關于對稱軸對稱可知QA+QC=QB+QC，可知當B、Q、C三點在一條線上時滿足條件，由B、C坐標可求得直線BC的解析式，直線BC與對稱軸的交點即為所求的Q點；
（3）如圖2中，取G′（2，$\frac{9}{4}$），則BG′=$\frac{15}{4}$，連接BG′，作DM⊥BG′于M，GN⊥DM于N．由題意t=$\frac{DG}{5v}$+$\frac{BG}{3v}$=$\frac{1}{3v}$（$\frac{3}{5}$DG+BG），由△BHG′∽△DMG′，推出$\frac{HG′}{MG′}$=$\frac{BG′}{DG′}$，推出MG′=$\frac{3}{5}$DG′，同理證明NG=$\frac{3}{5}$DG，所以欲求$\frac{1}{3v}$（$\frac{3}{5}$DG+BG）的最小值只要求$\frac{1}{3v}$（GN+BG）的最小值，根據垂線段最短可知，當點G與G′重合時，$\frac{1}{3v}$（GN+BG）的值最小，由此即可解決問題．

解答 解：（1）把A（-1，0）代入y=-x²+（2m+3）x+5m+$\frac{5}{2}$得0=-1-2m-3+5m+$\frac{5}{2}$，解得m=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+4x+5．

（2）存在．
理由：如圖1中，由A、B關于對稱軸對稱可知QA+QC=QB+QC，可知當B、Q、C三點在一條線上時滿足條件，

對于拋物線y=-x²+4x+5，令y=0得到x=-1或5，令x=0得到y=5，
∵A（-1，0），
∴B（5，0），C（0，5），
∴直線BC的解析式為y=-x+5，
∵拋物線的對稱軸為x=2，
∴Q（2，3）．

（3）如圖2中，取G′（2，$\frac{9}{4}$），則BG′=$\frac{15}{4}$，連接BG′，作DM⊥BG′于M，GN⊥DM于N．

由題意t=$\frac{DG}{5v}$+$\frac{BG}{3v}$=$\frac{1}{3v}$（$\frac{3}{5}$DG+BG），
∵△BHG′∽△DMG′，
∴$\frac{HG′}{MG′}$=$\frac{BG′}{DG′}$，
∴MG′=$\frac{3}{5}$DG′，同理證明NG=$\frac{3}{5}$DG，
∴欲求$\frac{1}{3v}$（$\frac{3}{5}$DG+BG）的最小值只要求$\frac{1}{3v}$（GN+BG）的最小值，
根據垂線段最短可知，當點G與G′重合時，$\frac{1}{3v}$（GN+BG）的值最小，
此時G（2，$\frac{9}{4}$）．

點評 本題考查二次函數綜合題、待定系數法、相似三角形的點評和性質、最短問題等知識，解題的關鍵是學會利用對稱解決最小值問題，學會構造相似三角形，利用垂線段最短，解決最短問題，屬于中考常考題型．