Question

10．如圖，拋物線y=ax²-x-$\frac{3}{2}$與x軸正半軸交于點A（3，0）．以OA為邊在x軸上方作正方形OABC，延長CB交拋物線于點D，再以BD為邊向上作正方形BDEF．求a的值和點E的坐標．

Answer 1

分析 把點A（3，0）代入拋物線y=ax²-x-$\frac{3}{2}$即可求得a的值，正方形OABC可得點C坐標，代入函數解析式求得點D坐標，可知點E橫坐標，再利用正方形BDEF的性質得出點E縱坐標問題得解．

解答 解：把點A（3，0）代入拋物線y=ax²-x-$\frac{3}{2}$，
解得a=$\frac{1}{2}$；
∵四邊形OABC為正方形，
∴點C的坐標為（0，3），點D的縱坐標為3，
代入y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$，
解得x₁=1+$\sqrt{10}$，x₂=1-$\sqrt{10}$（不合題意，舍去），
因此正方形BDEF的邊長B為1+$\sqrt{10}$-3=$\sqrt{10}$-2，
所以AF=3+$\sqrt{10}$-2=1+$\sqrt{10}$，
由此可以得出點E的坐標為（1+$\sqrt{10}$，1+$\sqrt{10}$）；
∴a的值為$\frac{1}{2}$和點E的坐標為（1+$\sqrt{10}$，1+$\sqrt{10}$）．

點評 此題主要結合圖形與圖象，關鍵是利用正方形的性質以及二次函數圖象上點的坐標來進行解答．