Question

19．已知在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，線段AB的兩個端點A（0，2），B（1，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，點C為線段AB的中點，現將線段BA繞點B按順時針方向旋轉90°得到線段BD，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過點D．
（1）如圖1，若該拋物線經過原點O，且a=-$\frac{1}{3}$．
①求點D的坐標及該拋物線的解析式；
②連結CD，問：在拋物線上是否存在點P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標，若不存在，請說明理由；
（2）如圖2，若該拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過點E（1，1），點Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余．若符合條件的Q點的個數是3個，請直接寫出a的值．

Answer 1

分析 （1）①過點D作DF⊥x軸于點F，先通過三角形全等求得D的坐標，把D的坐標和a=-$\frac{1}{3}$，c=0代入y=ax²+bx+c即可求得拋物線的解析式；
②先證得CD∥x軸，進而求得要使得∠POB與∠BCD互余，則必須∠POB=∠BAO，設P的坐標為（x，-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x），分兩種情況討論即可求得；
（2）若符合條件的Q點的個數是3個，根據tan∠QOB=tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，得到直線OQ的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x，要使直線OQ與拋物線y=ax²+bx+c有一個交點，所以方程ax²-4ax+3a+1=-$\frac{1}{2}$x有兩個相等的實數根，所以△=（-4a+$\frac{1}{2}$）²-4a（3a+1）=0，即4a²-8a+$\frac{1}{4}$=0，解得a=$\frac{4±\sqrt{15}}{4}$，．

解答 解：（1）①過點D作DF⊥x軸于點F，如圖1，
∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DBF=∠BAO，
又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，
∴△AOB≌△BFD（AAS）
∴DF=BO=1，BF=AO=2，
∴D的坐標是（3，1），
根據題意，得a=-$\frac{1}{3}$，c=0，且a×3²+b×3+c=1，
∴b=$\frac{4}{3}$，
∴該拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x；
②∵點A（0，2），B（1，0），點C為線段AB的中點，
∴C（$\frac{1}{2}$，1），
∵C、D兩點的縱坐標都為1，
∴CD∥x軸，
∴∠BCD=∠ABO，
∴∠BAO與∠BCD互余，
要使得∠POB與∠BCD互余，則必須∠POB=∠BAO，
設P的坐標為（x，-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x），
（Ⅰ）當P在x軸的上方時，過P作PG⊥x軸于點G，如圖2，
則tan∠POB=tan∠BAO，即$\frac{PG}{OG}$=$\frac{BO}{AO}$，
∴$\frac{-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x}{x}$=$\frac{1}{2}$，解得x₁=0（舍去），x₂=$\frac{5}{2}$，
∴-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x=$\frac{5}{4}$，
∴P點的坐標為（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）；

（Ⅱ）當P在x軸的下方時，過P作PG⊥x軸于點G，如圖3
則tan∠POB=tan∠BAO，即$\frac{PG}{OG}$=$\frac{BO}{AO}$，
∴$\frac{\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{4}{3}x}{x}$=$\frac{1}{2}$，解得x₁=0（舍去），x₂=$\frac{11}{2}$，
∴-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x=-$\frac{11}{4}$，
∴P點的坐標為（$\frac{11}{2}$，-$\frac{11}{4}$）；
綜上，在拋物線上是否存在點P（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）或（$\frac{11}{2}$，-$\frac{11}{4}$），使得∠POB與∠BCD互余．

（2）如圖3，∵D（3，1），E（1，1），
拋物線y=ax²+bx+c過點E、D，代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=1}\\{9a+3b+c=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4a}\\{c=1+3a}\end{array}\right.$，
所以y=ax²-4ax+3a+1．
分兩種情況：
①當拋物線y=ax²+bx+c開口向下時，若滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點的個數不可能是3個 
②當拋物線y=ax²+bx+c開口向上時，
（i）當點Q在x軸的上方時，直線OQ與拋物線y=ax²+bx+c必有兩個交點，符合條件的點Q必定有2個；
（ii）當點Q在x軸的下方時，要使直線OQ與拋物線y=ax²+bx+c只有1個交點，才能使符合條件的點Q共3個．
根據（2）可知，要使得∠QOB與∠BCD互余，則必須∠QOB=∠BAO，
∴tan∠QOB=tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，此時直線OQ的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x，要使直線OQ與拋物線y=ax²+bx+c有一個交點，所以方程ax²-4ax+3a+1=-$\frac{1}{2}$x有兩個相等的實數根，所以△=（-4a+$\frac{1}{2}$）²-4a（3a+1）=0，即4a²-8a+$\frac{1}{4}$=0，解得a=$\frac{4±\sqrt{15}}{4}$，
∵拋物線的頂點在x軸下方
∴$\frac{4a（3a+1）-16{a}^{2}}{4a}$＜0，
∴a＞1，
∴a=$\frac{4-\sqrt{15}}{4}$舍去
綜上所述，a的值為a=$\frac{4+\sqrt{15}}{4}$．

點評 本題是二次函數的綜合題，考查了待定系數法求二次函數的解析式，正切函數等，分類討論的思想是本題的關鍵．