Question

5．問題提出：（1）如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點．若∠AMN=90°，求證：AM=MN．
下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．
證明：在邊AB上截取AE=MC，連接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE，即∠NMC=∠MAE．
（下面請你完成余下的證明過程）
問題探究：（2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2），N是∠ACP的平分線上一點，則∠AMN=60°時，結論AM=MN是否還成立？請說明理由．
解決問題：（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X，請你作出猜想：當∠AMN=$\frac{（n-2）180°}{n}$時，結論AM=MN仍然成立．（直接寫出答案，不需要證明）

Answer 1

分析 （1）要證明AM=MN，可證AM與MN所在的三角形全等，為此，可在AB上取一點E，使AE=CM，連接ME，利用ASA即可證明△AEM≌△MCN，然后根據全等三角形的對應邊成比例得出AM=MN；
（2）同（1），要證明AM=MN，可證AM與MN所在的三角形全等，為此，可在AB上取一點E，使AE=CM，連接ME，利用ASA即可證明△AEM≌△MCN，然后根據全等三角形的對應邊成比例得出AM=MN；
（3）由（1）（2）可知，∠AMN等于它所在的正多邊形的一個內角，即等于$\frac{（n-2）180°}{n}$時，結論AM=MN仍然成立．

解答 解：（1）證明：如圖1，在邊AB上截取AE=MC，連接ME．
∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC，
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，
∴∠BEM=45°，
∴∠AEM=135°，
∵N是∠DCP的平分線上一點，
∴∠NCP=45°，
∴∠MCN=135°，
在△AEM與△MCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠NMC}\\{AE=MC}\\{∠AEM=∠MCN}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△MCN（ASA），
∴AM=MN；

（2）結論AM=MN還成立，
證明：如圖2，在邊AB上截取AE=MC，連接ME．
在正△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC，
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，
∴∠BEM=60°，
∴∠AEM=120°，
∵N是∠ACP的平分線上一點，
∴∠ACN=60°，
∴∠MCN=120°，
在△AEM與△MCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠NMC}\\{AE=MC}\\{∠AEM=∠MCN}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△MCN（ASA），
∴AM=MN；

（3）∵當AM=MN時，△AEM≌△MCN，
此時∠NMC=∠MAE，
又∵∠AMN=180°-∠NMC-∠AMB，∠MAE=180°-∠BAM-∠AMB，
∴∠AMN=∠B=$\frac{（n-2）180°}{n}$，
∴將（1）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X，則
當∠AMN=$\frac{（n-2）180°}{n}$時，結論AM=MN仍然成立．
故答案為：$\frac{（n-2）180°}{n}$．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形、等邊三角形的性質及全等三角形的判定與性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，運用全等三角形的對應邊相等進行證明．解題時注意：兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．