Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A=30°，AB是⊙O的直徑，過點C作⊙O的切線，交AB延長線于D，CD=3

3

cm，
（1）求⊙O的直徑；
（2）若動點M以3cm/s的速度從點A出發沿AB方向運動，同時點N以1.5cm/s的速度從B點出發沿BC方向運動．設運動的時間為t（0≤t≤2），連接MN，當t為何值時△BMN為直角三角形？并求此時該三角形的面積？

Answer 1

（1）連接OC，
∵CD為切線，
∴∠DCO=90°
∵∠A=30°，OA=OC，
∴∠ACO=30°
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，∠OCB=60°，
∴∠BCD=30°，∠ABC=60°，
∴∠BCD=∠A=30°，∠D=30°，
∴∠A=∠D，
∴AC=CD=3

3

，即AB=6cm．

（2）如圖1：當∠BNM=90°時，MN∥AC，
∴

6-3t

6

=

1.5t

3

，得t=1，即MN恰為△ACB的中位線，
∴S=

1

2

×

3

2

×

3 3

2

=

9 3

8

cm²，
當∠BMN=90°時，cos∠MBN=

BM

BN

，
即cos60°=

6-3t

1.5t

，解得t=1.6，
此時，MN=

3

BM=

3

（6-3t）=1.2

3

，
S=

1

2

×1.2

3

×1.2=

18 3

25

cm²．