Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的一點，CD交AB的延長線于D，∠DCB=∠CAB．
（1）求證：CD為⊙O的切線．
（2）若CD=4，BD=2，求⊙O的半徑長．

Answer 1

（1）證明：∵∠DCB=∠CAB，∠CAB=∠ACO，
∴∠DCB=∠ACO，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
即∠ACO+∠OCB=90°
∴∠DCB+∠OCB=90°，
∴∠OCD=90°
∴CD為⊙O的切線；

（2）設⊙O的半徑為R，則OD=R+2，
∵CD=4，BD=2，∠OCD=90°，
由勾股定理得R²+4²=（R+2）²，
解得：R=3，
∴⊙O的半徑長為3．