Question

如圖所示，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦，直線PB交直線AC于點D，

DB

DP

=

DC

DO

=

2

3

．
（1）求證：直線PB是⊙O的切線；
（2）求cos∠BCA的值．

Answer 1

（1）證明：連接OB、OP，如圖，
∵

DB

DP

=

DC

DO

=

2

3

，且∠D=∠D，
∴△BDC∽△PDO，
∴∠DBC=∠DPO，
∴BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP
而OB=OC
∴∠OCB=∠CBO
∴∠BOP=∠POA
又∵OB=OA，OP=OP
∴△BOP≌△AOP
∴∠PBO=∠PAO
又∵PA⊥AC
∴∠PBO=90°
∴直線PB是⊙O的切線；

（2）由（1）知∠BCO=∠POA，
設PB=a，則BD=2a
又∵PA=PB=a
∴AD=

DP2-PA2

=2

2

a，
又∵BC∥OP
∴DC=2CO，
∴DC=CA=

1

2

×2

2

a=

2

a，
∴OA=

2

2

a，
∴OP=

OA2+PA2

=

( 2 a 2 )2+a2

=

6

2

a，
∴cos∠BCA=cos∠POA=

OA

OP

=

3

3

．