Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE=AF．
（1）試說明∠BAE=∠DAF；
（2）連接AC交EF于點O，延長OC至點M，使OM=OA，連接EM、FM．判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形，并說明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠B=∠D=90°，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

∵ ，

∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL）

∴∠BAE=∠DAF；

（2）解：四邊形AEMF是菱形，理由為：

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的對角線平分一組對角），

BC=DC（正方形四條邊相等），

∵BE=DF（已證），

∴BC﹣BE=DC﹣DF（等式的性質），

即CE=CF，

在△COE和△COF中，

，

∴△COE≌△COF（SAS），

∴OE=OF，又OM=OA，

∴四邊形AEMF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），

∵AE=AF，

∴平行四邊形AEMF是菱形．

【解析】（1）求簡單的角相等，可證兩角所在的三角形全等，即證△ABE≌△ADF；（2）由于四邊形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD；聯立（1）的結論，可證得EC=CF，根據等腰三角形三線合一的性質可證得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，則EF、AM互相平分，再根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可判定四邊形AEMF是菱形．
【考點精析】掌握平行四邊形的判定與性質和正方形的性質是解答本題的根本，需要知道若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．