Question

【題目】如圖，E是正方形ABCD中CD邊上一點，以點A為中心把△ADE順時針旋轉90°．
（1）在圖中畫出旋轉后的圖形；
（2）若旋轉后E點的對應點記為M，點F在BC上，且∠EAF=45°，連接EF． ①求證：△AMF≌△AEF；
②若正方形的邊長為6，AE=3 ，求EF．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，△ABM為所作；

（2）①證明：∵ABCD 是正方形，

∴∠BAD=90°，

∵△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABM，

∴AM=AE，∠MAE=90°，

又∵∠EAF=45°，

∴∠MAF=45°，

∴∠MAF=∠EAF，

在△AMF和△AEF中

，

∴△AMF≌△AEF；

②解：∵△AMF≌△AEF，

∴EF=MF，

即ME=BF+MB，

而BM=DE，

∴EF=BF+DE，

在Rt△ADE中，DE= =3，

∴CE=6﹣3=3，

設EF=x，則BF=x﹣3，

∴CF=6﹣（x﹣3）=9﹣x，

在Rt△CEF中，∵CF2+CE2=EF2，

∴（9﹣x）2+32=x2，解得x=5，

解EF=5．

故答案為5．

【解析】（1）在CB的延長線上截取BM=DE，則△ABM滿足條件；（2））①由旋轉性質得AM=AE，∠MAE=90°，則∠MAF=∠EAF=45°，則可根據“SAS”判斷△AMF≌△AEF；②由△AMF≌△AEF得到EF=MF，即ME=BF+MB，加上BM=DE，所以EF=BF+DE，再利用勾股定理計算出DE=3，則CE=3，設EF=x，則BF=x﹣3，CF=9﹣x，然后在Rt△CEF中利用勾股定理得到（9﹣x）2+32=x2 ， 然后解方程求出x即可．
【考點精析】本題主要考查了正方形的性質的相關知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．