Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AD是⊙O的弦，點F是DA延長線的一點，AC平分∠FAB交⊙O于點C，過點C作CE⊥DF，垂足為點E．

（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若AE=1，CE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接CO，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵AC平分∠FAB，

∴∠OCA=∠CAE，

∴OC∥FD，

∵CE⊥DF，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切線；

（2）

證明：連接BC，

在Rt△ACE中，AC= = = ，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠BCA=90°，

∴∠BCA=∠CEA，

∵∠CAE=∠CAB，

∴△ABC∽△ACE，

∴ ，

∴ = ，

∴AB=5，

∴AO=2.5，即⊙O的半徑為2.5．

【解析】（1）證明：連接CO，證得∠OCA=∠CAE，由平行線的判定得到OC∥FD，再證得OC⊥CE，即可證得結論；（2）證明：連接BC，由圓周角定理得到∠BCA=90°，再證得△ABC∽△ACE，根據相似三角形的性質即可證得結論．本題主要考查了圓周角定理，切線的判定，平行線的性質和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質，熟練掌握切線的判定定理是解決問題的關鍵．