Question

已知在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=ax²+bx的圖象經過點（1，-3）和點（-1，5）；
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）將這個二次函數的圖象向上平移，交y軸于點C，其縱坐標為m，請用m的代數式表示平移后函數圖象頂點M的坐標；
（3）在第（2）小題的條件下，如果點P的坐標為（2，3），CM平分∠PCO，求m的值．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）根據頂點坐標公式，可得頂點坐標，根據圖象的平移，可得M點的坐標；
（3）根據角平分線的性質，可得全等三角形，根據全等三角形的性質，可得方程組，根據解方程組，可得答案．

解答：解：（1）由二次函數y=ax²+bx的圖象經過點（1，-3）和點（-1，5），得

a+b=-3 a-b=5

，解得

a=1 b=-4

．
二次函數的解析式y=x²-4x；
（2）y=x²-4x的頂點M坐標（2，-4），
這個二次函數的圖象向上平移，交y軸于點C，其縱坐標為m，
頂點M坐標向上平移m，即M（2，m-4）；
（3）由待定系數法，得CP的解析式為y=

3-m

2

x+m，
如圖：
作MG⊥PC于G，設G（a，

3-m

2

a+m）．
由角平分線上的點到角兩邊的距離相等，
DM=MG．
在Rt△DCM和Rt△GCM中

DM=GM CM=CM

，

Rt△DCM≌Rt△GCM（HL）．
CG=DC=4，MG=DM=2，

a2+( 3-m 2 a)2=42 (2-a)2+(m-4- 3-m 2 a-m)2=22

，
化簡，得8m=36，
解得m=

9

2

．

點評：本題考察了二次函數綜合題，（1）利用了待定系數法求函數解析式，（2）利用了二次函數頂點坐標公式，圖象的平移方法；（3）利用了角平分線的性質，全等三角形的性質．