Question

已知：如圖，二次函數y=-mx²+4m的頂點坐標為（0，2），矩形ABCD的頂點B、C在x軸上，矩形ABCD在拋物線與x軸所圍成的圖形內．
（1）求二次函數的表達式；
（2）設點A的坐標為（x，y）（x＞0，y＞0），試求矩形ABCD的周長P關于自變量x的函數表達式，并求出自變量x的取值范圍．

Answer 1

考點：待定系數法求二次函數解析式,二次函數圖象上點的坐標特征

專題：壓軸題

分析：（1）由y=-mx²+4m的頂點坐標為（0，4m），結合已知即可求出m的值，從而確定二次函數解析式；
（2）設出點A的坐標，由點A在拋物線上，表示出矩形ABCD的周長，即為矩形ABCD的周長P關于自變量x的函數表達式．

解答：解：（1）∵y=-mx²+4m
∴拋物線的頂點坐標為（0，4m）．
∴4m=2，即m=

1

2

．
∴二次函數的表達式為y=-

1

2

x2+2．

（2）∵點A在拋物線上，
∴A(x，-

1

2

x2+2)．
∴矩形ABCD的周長P=2（-

1

2

x2+2）+4x．
令y=0，則-

1

2

x2+2=0，
∴x=±2．
∴拋物線與x軸的兩個交點是（-2，0），（2，0）．
∴關于x的函數P的自變量的取值范圍0＜x＜2．

點評：本題考查的是二次函數與矩形的綜合應用，解決問題的關鍵是要熟練二次函數的性質及二次函數解析式的表達形式．