Question

【題目】在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，△CDE為等邊三角形，CD＝2，連接AD，M為AD中點．

（1）如圖1，當B，C，E三點共線時，請畫出△EDM關于點M的中心對稱圖形，并證明BM⊥ME；

（2）如圖2，當A，C，E三點共線時，求BM的長；

（3）如圖3，取BE中點N，連MN，將△CDE繞點C旋轉，直接寫出旋轉過程中線段MN的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）先作出圖形，進而證明△AMF≌△DME，即可得出結論；

（2）同（1）的方法得出△AMF≌△DMF，利用四邊形的內角和定理及平角的定義得出∠BCE＝∠BAF即可得出∠BME＝90°，最后用勾股定理即可得出結論；

（3）同（2）的方法得出∠BME＝90°，進而得出BE＝2MN，最后用三角形的三邊關系即可得出結論．

解：（1）證明：如圖1，

延長BA，EM交于點F，即：△FAM即為所求，

∵△CDE是等邊三角形，

∴CD＝CE＝DE，∠CED＝60°，

∵∠ABC＝120°，

∴∠ABC+∠CED＝180°，

∵B，C，E三點共線，

∴AB∥DE，

∴∠FAM＝∠MDE，∠MED＝∠F，

∵點M是AD中點，

∴AM＝DM，

∴△AMF≌△DME，

∴AF＝DE＝CE，FM＝ME，

∵AB＝BC，

∴BF＝BE，

∴BM⊥ME；

（2）證明：如圖2，延長EM到點F，使MF＝ME，連接BF，AF，BE，

∵AM＝DM，∠FMA＝∠DME，

∴△AMF≌△DMF，

∴AF＝DE＝CE，∠FAD＝∠ADE，

在四邊形BADE中，∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA＝360°，

∵∠ABC＝120°，∠CED＝60°，

∴∠CBE+∠CEB+∠BAD+∠ADE＝180°，

∵∠CBE+∠CEB+∠BCE＝180°，

∴∠BCE＝∠BAD+∠ADE，

∴∠BCE＝∠BAF，

∵AB＝AC，

∴△AFB≌△CEB，

∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE，

∴∠FBE＝∠ABC＝120°，∠BEF＝30°，

∴∠BME＝90°，BE＝2BM．

在△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝120°，∴∠BAC＝30°，

過點B作BG⊥AC于G，

∴BG＝，CG＝AG＝3，

∴EG＝CG+CE＝3+2＝5

在Rt△BCE中，根據勾股定理得，BE＝2，

∴BM＝；

（3）如圖3，延長EM到點F，使MF＝ME，連接BF，AF，BM，

∵AM＝DM，∠FMA＝∠DME，

∴△AMF≌△DME，

∴AF＝DE＝CE，∠FAD＝∠ADE，

在四邊形BADE中，∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA＝360°，

∵∠ABC＝120°，∠CED＝60°，

∴∠CBE+∠CEB+∠BAD+∠ADE＝180°，

∵∠CBE+∠CEB+∠BCE＝180°，

∴∠BCE＝∠BAD+∠ADE，

∴∠BCE＝∠BAF，

∵AB＝CB，

∴△AFB≌△CEB，

∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE，

∴∠FBE＝∠ABC＝120°，∠BEF＝30°，

∴∠BME＝90°，

∵點N是BE的中點，

∴MN＝BE，

即：BE＝2MN，

在△BCE中，BC＝2，CE＝CD＝2，

∴2﹣2＜BE＜2+2，

∴2﹣2＜2MN＜2+2，

即：﹣1≤MN≤+1，

故答案為：﹣1≤MN≤+1．