Question

【題目】已知等邊△ABC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD.

圖1 圖2

（1）若點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，且CE＝BD，連接BE，BE與AD的交點(diǎn)為點(diǎn)P，在圖（1）中根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，直接寫出∠APE的大小；

（2）將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到AF，連接BF交AC于點(diǎn)Q，在圖（2）中根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，用等式表示線段AQ和CD的數(shù)量關(guān)系，并證明.

Answer 1

【答案】（1）補(bǔ)全圖形見解析. ∠APE=60°；（2）補(bǔ)全圖形見解析.，證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意，按照要求補(bǔ)全圖形即可；

（2）先補(bǔ)全圖形，然后首先證明△ABD≌△BEC得出∠BAD=∠CBE，之后通過一系列證明得出△AQF≌△EQB，最后進(jìn)一步從而得出即可.

（1）補(bǔ)全圖形如下，其中 ∠APE=60°，

（2）補(bǔ)全圖形.

證明：在△ABD和△BEC中，

∴△ABD≌△BEC（SAS）

∴∠BAD=∠CBE.

∵∠APE是△ABP的一個(gè)外角，

∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠CBE+∠ABP=∠ABC=60°.

∵AF是由AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到，

∴AF=AD，∠DAF=120°.

∵∠APE=60°，

∴∠APE+∠DAP=180°.

∴AF∥BE

∴∠1=∠2

∵△ABD≌△BEC，

∴AD=BE.

∴AF=BE.

在△AQF和△EQB中，

∴△AQF≌△EQB（AAS）

∴AQ=QE

∴

∵AE=AC－CE，CD=BC－BD，

且AE=BC，CD=BD.

∴AE=CD..

∴