Question

【題目】閱讀下列材料，并完成相應的任務.

任務：

（1）上述證明過程中的“依據1”和“依據2”分別指什么？

依據1：

依據2：

（2）當圓內接四邊形ABCD是矩形時，托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理： （請寫出定理名稱）.

（3）如圖（3），四邊形ABCD內接于⊙O，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，點C是弧BD的中點，求AC的長.

Answer 1

【答案】（1）同弧所對的圓周角相等；兩角分別對應相等的兩個三角形相似（2）勾股定理（3） AC =

【解析】

（1）根據圓周角定理的推論以及三角形相似的判定定理，即可得到答案；

（2）根據矩形的性質和托勒密定理，即可得到答案；

（3）連接BD，過點C作CE⊥BD于點E．由四邊形ABCD內接于⊙O，點C是弧BD的中點，可得BCD是底角為30°的等腰三角形，進而得BD=2 DE=CD，結合托勒密定理，列出方程，即可求解．

（1）依據1指的是：同弧所對的圓周角相等；

依據2指的是：兩角分別對應相等的兩個三角形相似 ．

故答案是：同弧所對的圓周角相等；兩角分別對應相等的兩個三角形相似；

（2）∵當圓內接四邊形ABCD是矩形時，

∴AC=BD，BC=AD，AB=CD，

∵由托勒密定理得：AC·BD=AB·CD+BC·AD，

∴．

故答案是：勾股定理；

（3）如圖，連接BD，過點C作CE⊥BD于點E．

∵四邊形ABCD內接于⊙O，

∴∠BAD+∠BCD =180°，

∵∠BAD=60°，

∴∠BCD =120°，

∵點C是弧BD的中點，

∴ 弧BC=弧CD，

∴ BC =CD，

∴∠CBD =30°.

在Rt△CDE中，DE=CD·cos30°，

∴DE=CD ，

∴ BD=2 DE=CD．

由托勒密定理得： AC·BD=AB·CD+BC·AD．

∴AC·CD=3CD+5CD．

∴AC =．