Question

為扶持大學生自主創業，市政府提供了80萬元無息貸款，用于大學生開辦公司，生產并銷售自主研發的一種電子產品，并約定用該公司經營的利潤償逐步還無息貸款．已知該產品的生產成本為每件40元，員工每人每月的工資為2500元，公司每月需支付其它費用15萬元．該產品每月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數關系如圖所示．
（1）求月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；
（2）若該公司有80名員工，問產品的單價定為多少時，該公司獲得月利潤最大，最大利潤是多少？
（3）則該公司最早可在幾個月后還清無息貸款？（利潤=銷售額-生產成本-員工工資-其它費用）

Answer 1

考點：二次函數的應用

專題：

分析：（1）根據函數圖象，分兩種情況列出一次函數解析式；
（2）根據（1）中一次函數，列出關于利潤的二次函數，然后求最值；
（3）公司若還清無息貸款，則10m≥80，解出m的值即可．

解答：解：（1）當40≤x≤60時，設y=k₁x+b₁，
則

40k1+b1=4 60k1+b1=2

，解得

k1=- 1 10 b1=8

，
∴y=-

1

10

x+8．
當60＜x≤80時，

60k2+b2=2 80k2+b2=1

，解得

k1=- 1 20 b1=5

，
∴y=-

1

20

x+5，
∴

y=- 1 10 x+8(40≤x≤60) y=- 1 20 x+5(60＜x≤80)

；
（2）設公司所獲利潤為W萬元，當40≤x≤60時，
W=（-

1

10

x+8）（x-40）-15-0.25×80
=-

1

10

x²+12x-355，
即W=-

1

10

（x-60）²+5，
∴x=60，W_最大=5萬元；
當60＜x≤80時，
W=（-

1

20

x+5）（x-40）-15-0.25×80
=-

1

20

x²+7x-235，
即W=-

1

20

（x-70）²+10，
∴x=70，W_最大=10萬元；
∴當單價為70元時，獲得最大月利潤為10萬元．
（3）要盡早還清貸款，公司獲得最大月利潤，
設m個月后該公司可還清貸款，則10m≥80，解得，m≥8，所以，該公司最早可在8個月后還清貸款．

點評：本題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用．最大銷售利潤的問題常利函數的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，然后結合實際選擇最優方案，本題要注意一次函數與二次函數的結合．