Question

拋物線y=-x²-mx+m+2與x軸有兩個交點A、B，頂點C，求△ABC面積的最小值．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：計算題

分析：先把解析式配成頂點式得到頂點C的坐標為（-

m

2

，

m2+4m+8

4

），再利用拋物線與x軸兩交點之間的距離公式計算出AB=

m2+4m+8

，接著根據三角形面積公式得到△ABC的面積=

1

2

•

m2+4m+8

•

m2+4m+8

4

，變形得到△ABC的面積=

1

8

•

(m2+4m+8)3

，然后利用非負數的性質求△ABC面積的最小值．

解答：解：∵y=-x²-mx+m+2=-（x+

m

2

）²+

m2+4m+8

4

，
∴頂點C的坐標為（-

m

2

，

m2+4m+8

4

），
∵AB=

(-m)2-4×(-1)×(m+2)

|-1|

=

m2+4m+8

，
∴△ABC的面積=

1

2

•

m2+4m+8

•

m2+4m+8

4

=

1

8

•

(m2+4m+8)3

=

1

8

[(m+2)2+4]3

，
∵（m+2）²≥0，
∴當m=-2時，△ABC的面積最小，最小值為

1

8

•

64

=1．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．