Question

如圖，△ABC繞點A順時針旋轉45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=2，則圖中陰影部分的面積等于

 

．

Answer 1

考點：旋轉的性質

專題：計算題

分析：AC′與BC交于點D，B′C′與BC交于點E，與AB交于點F，如圖，由∠BAC=90°，AB=AC=2可判斷△ABC為等腰直角三角形，則∠B=∠C=45°，BC=

2

AB=2

2

，再根據旋轉的性質得∠CAC′=45°，AC′=AC=2，∠C=∠C′=45°，則∠ADC=90°，所以AD=

1

2

BC=

2

，可計算出C′D=AC′-AD=2-

2

，接著證明△C′DE為等腰直角三角形得到C′D=DE=2-

2

，證明△AC′F為等腰直角三角形得到C′F=AF=

2

2

AC′=

2

，然后利用圖中陰影部分的面積=S_△AC′F-S_△DC′E進行計算即可．

解答：解：AC′與BC交于點D，B′C′與BC交于點E，與AB交于點F，如圖，
∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，BC=

2

AB=2

2

，
∵△ABC繞點A順時針旋轉45°得到△A′B′C′，
∴∠CAC′=45°，AC′=AC=2，∠C=∠C′=45°，
∴∠ADC=90°，即AD⊥BC，
∴AD=

1

2

BC=

2

，
∴C′D=AC′-AD=2-

2

，
∵△C′DE為等腰直角三角形，
∴C′D=DE=2-

2

，
∵∠BAD=90°-∠CAC′=45°，
而∠C′=45°，
∴△AC′F為等腰直角三角形，
∴C′F=AF=

2

2

AC′=

2

，
∴圖中陰影部分的面積=S_△AC′F-S_△DC′E
=

1

2

•（

2

）²-

1

2

（2-

2

）²
=2

2

-2．
故答案為2

2

-2．

點評：本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的盤定于性質．