Question

8．拼圖與數學：
（1）如圖1，觀察左邊方格圖中陰影所示的圖形（注：每一小方格的邊長為1）．若將它剪開，可重新拼成一個正方形，請你在右邊的方格圖中畫出你所拼成的正方形，可用陰影增加效果，并寫出你所拼成的正方形的邊長$\sqrt{5}$；
（2）如圖2是用4個相同的小長方形與1個正方形鑲嵌而成的正方形圖案．若用x、y表示小長方形的兩邊長（x＞y），則請利用圖中的面積關系直接寫來代數式x+y、x-y、xy三者之間存在著等式關系：（x+y）²-4xy=（x-y）²；
（3）如圖3，右圖是2002年在北京召開的國際數學家大會的會標，它來源于我國古代著名的“趙爽弦圖”．它是由4個全等的直角三角形（如左圖，三邊長分別為BC=a、AC=b、AB=c）及中間一個小正方形拼成的大正方形．請你利用圖中的面積關系推導出一個有關直角三角形三邊長a、b、c簡潔的等量關系．

Answer 1

分析 （1）根據正方形的面積求出邊長，即可得解；
（2）大正方形的面積減去矩形的面積即可得出陰影部分的面積，也可得出三個代數式x+y、x-y、xy之間的等量關系．
（3）先表示出中間小正方形的邊長，然后根據大正方形的面積等于四個直角三角形的面積加上中間小正方形的面積列出等式，然后整理即可得解．

解答 解：（1）如圖1所示：
  
（2）代數式x+y、x-y、xy三者之間存在著等式關系：（x+y）²-4xy=（x-y）²；
（3）它能說明的等式為：c²=a²+b²．
推導如下：中間小正方形的邊長為（b-a），
∴大正方形的面積可表示為：
c²=4×$\frac{1}{2}$ab+（b-a）²，
整理得，c²=2ab+b²-2ab+a²，
即c²=a²+b²．
故答案為：$\sqrt{5}$；（x+y）²-4xy=（x-y）²．

點評 本題考查了圖形的剪拼，主要利用了正方形的面積，勾股定理，根據面積求出邊長，再利用勾股定理作出相應邊長的正方形即可，靈活掌握并運用網格結構是解題的關鍵．