Question

19．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b（b＞0），分別交x軸、y軸于A、B兩點，點C（3，0），D（6，0），以CD為一邊在x軸上方作矩形CDEF，CF=$\sqrt{3}$，設矩形CDEF與△ABO重疊部分的面積為S．
（1）當S等于矩形CDEF面積的一半時，求出b的值．
（2）求S與b的函數關系．

Answer 1

分析 （1）根據自變量與函數值得對應關系，可得A，G點坐標，根據三角形的面積，可得函數關系式，再根據面積間的關系，可得關于b的方程，根據解方程，可得答案；
（2）根據自變量與函數值得對應關系，可得A，G點坐標，根據三角形的面積，可得函數關系式．

解答 解：（1）如圖，
CD=6-3=3，CF=$\sqrt{3}$．
S_矩形CDEF=CD•CF=6$\sqrt{3}$．
y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，當y=0時，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b=0，解得x=$\sqrt{3}$b，
即A點坐標為（$\sqrt{3}$b，0）．
AC=$\sqrt{3}$b-3．
當x=3時，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×3+b=b-$\sqrt{3}$，
即G點坐標（3，b-$\sqrt{3}$）．
CG=b-$\sqrt{3}$，
矩形CDEF與△ABO重疊部分的面積為S，
S=$\frac{1}{2}$CG•AC=$\frac{1}{2}$（b-$\sqrt{3}$）（$\sqrt{3}$b-3），
當S等于矩形CDEF面積的一半時，
即$\frac{1}{2}$（b-$\sqrt{3}$）（$\sqrt{3}$b-3）=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$．
解得b=2$\sqrt{3}$，b=0（不符合題意，舍）；
（2）由（1）知，
S=$\frac{1}{2}$CG•AC=$\frac{1}{2}$（b-$\sqrt{3}$）（$\sqrt{3}$b-3），
化簡，得
S=$\frac{\sqrt{3}}{2}{b}^{2}$-3b+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了二次函數的應用，利用三角形的面積得出函數關系式是解題關鍵．