Question

20．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，動(dòng)點(diǎn)P以2mm/s的速度從A向B移動(dòng)，（不與B重合），動(dòng)點(diǎn)Q以4mm/s的速度從B向C移動(dòng)，（不與C重合），若P、Q同時(shí)出發(fā)，試問：
（1）經(jīng)過幾秒后，△PBQ與△ABC相似．
（2）經(jīng)過幾秒后，四邊形APQC的面積最小？并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x秒后△PBQ與原三角形相似，則可用x表示出AP=2x，PB=12-2x，BQ=4x，由于△PBQ和△ABC有公共角∠B，則根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，分兩種情況；
（2）根據(jù)等量關(guān)系“四邊形APQC的面積=△ABC的面積-△PBQ的面積”列出函數(shù)關(guān)系求最小值即可．

解答 解：（1）設(shè)x秒后△PBQ與△ABC相似，則AP=x，PB=12-2x，BQ=4x，
∵∠PBQ=∠ABC
∴當(dāng)$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$時(shí)，△BPQ∽△BAC，
即$\frac{12-2x}{12}=\frac{4x}{24}$，
解得x=3（s）；
當(dāng)$\frac{PB}{CB}=\frac{BQ}{BA}$時(shí)，△PBQ∽△CBA，
即$\frac{12-2x}{24}=\frac{4x}{12}$，
解得x=$\frac{6}{5}$（s）．
即經(jīng)過3秒或$\frac{6}{5}$秒后，△PBQ與△ABC相似．
（2）設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)后經(jīng)過的時(shí)間為ts，四邊形APQC的面積為Smm²，
則有：S=S_△ABC-S_△PBQ
=$\frac{1}{2}$×12×24-$\frac{1}{2}$×4t×（12-2t）
=4t²-24t+144
=4（t-3）²+108．
∵4＞0
∴當(dāng)t=3s時(shí)，S取得最小值，最小值為108mm²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定、三角形面積的計(jì)算以及最小值問題．也考查了動(dòng)點(diǎn)問題的解決方法．