Question

3．如圖，△ABC是邊長為5的等邊三角形，△BDC是頂角為120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°的∠MDN，點M、N分別在AB、AC上，連接MN，則△AMN的周長為5．

Answer 1

分析 作輔助線，構建30°角的直角三角形，證明Rt△BDQ≌Rt△CDP得DQ=DP，再證明Rt△DQM≌Rt△DPK和△MDN≌△KDN，得MN=KN和QM=PK，利用三角形的周長公式代入可得結果．

解答 解：延長CD、BD，分別交AB于Q，交AC于P，在AC上取一點K，使KP=QM，連接DK，
∵△BDC是頂角為120°的等腰三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BPC=∠CQB=90°，
∴PC=$\frac{1}{2}$BC，BQ=$\frac{1}{2}$BC，
∴PC=BQ=AQ=AP=$\frac{1}{2}$×5=$\frac{5}{2}$，
在Rt△BDQ和Rt△CDP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{BQ=CP}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDQ≌Rt△CDP（HL），
∴DQ=PD，
同理得Rt△DQM≌Rt△DPK，
∴DM=DK，∠QDM=∠PDK，
∵∠BDQ=60°，∠MDN=60°，
∴∠QDM+∠NDP=60°，
∴∠PDK+∠NDP=60°，
即∠NDK=60°，
∴∠NDK=∠MDN=60°，
∵ND=ND，
∴△MDN≌△KDN，
∴MN=NK=NP+PK，
∴△AMN的周長=AM+AN+MN=AM+AN+NP+PK=AM+AN+NP+QM=AP+AQ=$\frac{5}{2}$+$\frac{5}{2}$=5，
故答案為：5．

點評 本題主要考查了三角形全等的性質和判定、等腰三角形的性質和判定及30°的直角三角形的性質，熟練掌握三角形全等的判定是關鍵，尤其是直角三角形的特殊判定方法，本題應用了兩次證明全等，要熟練掌握．