Question

17．如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上．
（1）求證：BE=CE；
（2）如圖2，延長BE交AC于點F，且BF⊥AC，垂足為F．
①求證：△AEF≌△BCF；
②連接DF，DF與AE有怎樣的數量關系？證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據等腰三角形的性質就可以求出∠BAE=∠CAE，再證明△ABE≌△ACE就可以得出結論；
（2）①由BF⊥AC，∠BAC=45°得出AF=BF，再由條件證明△AEF≌△BCF即可．
②利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，得出DF=$\frac{1}{2}$BC，再借助①的結論即可．

解答 證明：（1）∵AB=AC，D是BC的中點，
∴∠EAB=∠EAC，
在△ABE和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠EAB=∠EAC}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE；

（2）∵BF⊥AF，
∴∠AFB=∠CFB=90°．
∵∠BAC=45°，
∴∠ABF=45°，
∴∠ABF=∠BAC，
∴AF=BF．
∵AB=AC，點D是BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠CBF}\\{AF=BF}\\{∠AEF=∠BFC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BCF（ASA）
②DF=$\frac{1}{2}$AE，
理由：如圖，
連接DF，
由①知，△AEF≌△BCF，
∴AE=BC，
在Rt△BCF中，點D是BC中點，
∴DF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DF=$\frac{1}{2}$AE．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了中點的性質的運用，全等三角形的判定性質的運用，等腰三角形的判定及性質的運用，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，解答時證明三角形全等是關鍵．