Question

13．閱讀理解：在實數范圍內，當a＞0且b＞0時，我們由非負數的性質知道（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²≥0，所以a-2$\sqrt{ab}$+b≥0，即：a+b≥2$\sqrt{ab}$，當且僅當a=b時，等號成立，這就是數學上有名的“均值不等式”，若a與b的積為定值p（p＞0），則a+b有最小值2$\sqrt{p}$；若a與b的和為定值q（q＞0），則ab有最大值$\frac{{q}^{2}}{4}$，請根據上述內容，回答下列問題．
（1）若x＞0，則當x=2時，代數式2x+$\frac{8}{x}$取最小值8；
（2）已知：y₁與x-2成正比例函數關系，y₂與x+2成反比例函數關系，且y=y₁+y₂，當x=6時，y=9；當x=-1時，y=2，求當x＞-2時y的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據材料直接利用若a與b的積為定值p（p＞0），則a+b有最小值2$\sqrt{p}$計算即可；
（2）先用待定系數法求出y與x的函數關系式，再用“均值不等式”，即可得出結論．

解答 解：（1）
∵2x•$\frac{8}{x}$=16，
∴2x+$\frac{8}{x}$≥2$\sqrt{16}$=8，
此時2x=$\frac{8}{x}$，
∴x=2
故答案為：2，8；

（2）∵y₁與x-2成正比例函數關系，
∴設y₁=k（x-2），
∵y₂與x+2成反比例函數關系，
∴y₂=$\frac{k'}{x+2}$，
∴y=y₁+y₂=k（x-2）+$\frac{k'}{x+2}$，
∵當x=6時，y=9；當x=-1時，y=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k（6-2）+\frac{k'}{6+2}=9}\\{k（-1-2）+\frac{k'}{-1+2}=2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{k'=8}\end{array}\right.$
∴y=2（x-2）+$\frac{8}{x+2}$=2（x+2）+$\frac{8}{x+2}$-8，
∵x＞-2，
∴x+2＞0，
∴y=2（x+2）+$\frac{8}{x+2}$-8≥2$\sqrt{2（x+2）•\frac{8}{x+2}}$-8≥0，
此時2（x+2）=$\frac{8}{x+2}$，
∴x=-4（舍）或x=0，
即：y的最小值為0．

點評 此題主要考查了待定系數法，正比例函數的定義，反比例函數的定義，待定系數法，材料的理解和掌握，解本題的關鍵是理解材料提供的信息．