Question

18．如圖，P為圓ω外一點，PA，PB為圓ω的兩條切線，PCD為圓ω的一條割線，其中C在線段PD上，直線DE⊥PD交直線AB于點E，求證：∠BPE=2∠PDB．

Answer 1

分析 如圖，連接Pω交AE于F，連接AC、DF、ωD、ωB、直線Cω交⊙ω于M，交PE于H．首先證明△PFD∽△PCω，推出∠PDF=∠PωC，由∠PFC=∠PDE=90°，推出P、F、D、E四點共圓，推出∠PEF=∠PDF=∠FωO，由∠FOω=∠HOE，推出∠OHE=∠OFω=90°，由∠GHP=∠GBω=90°，∠PGH=∠BGω，推出∠GPH=∠BωG，由∠BωG=2∠PDB，推出∠EPB=2∠PDB．

解答 證明：如圖，連接Pω交AE于F，連接AC、DF、ωD、ωB、直線Cω交⊙ω于M，交PE于H．

∵PA、PB是切線，
∴Pω⊥AB，ωB⊥PB，
∵∠BPF=∠BPω，∠PFB=∠PBω，
∴△PFB∽△PBω，
∴PB²=PF•Pω，
∵PB²=PC•PD（切割線定理，可以用相似三角形證明），
∴PF•Pω=PC•PD，
∴$\frac{PF}{PC}$=$\frac{PD}{Pω}$，∵∠FPD=∠ωPC，
∴△PFD∽△PCω，
∴∠PDF=∠PωC，
∵∠PFC=∠PDE=90°，
∴P、F、D、E四點共圓，
∴∠PEF=∠PDF=∠FωO，
∵∠FOω=∠HOE，
∴∠OHE=∠OFω=90°，
∵∠GHP=∠GBω=90°，∠PGH=∠BGω，
∴∠GPH=∠BωG，
∵∠BωG=2∠PDB，
∴∠EPB=2∠PDB．

點評 本題考查切線的性質、相似三角形的判定和性質、切線長定理、四點共圓、圓周角定理等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造相似三角形解決問題，本題比較難，屬于競賽題目．