Question

【題目】問題背景
已知在△ABC中，AB邊上的動點D由A向B運動（與A，B不重合），點E與點D同時出發，由點C沿BC的延長線方向運動（E不與C重合），連接DE交AC于點F，點H是線段AF上一點．

（1）初步嘗試
如圖1，若△ABC是等邊三角形，DH⊥AC，且點D，E的運動速度相等．
求證：HF=AH+CF．
小五同學發現可以由以下兩種思路解決此問題：
思路一：過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證GH=AH，再證GF=CF，從而證得結論成立；
思路二：過點E作EM⊥AC，交AC的延長線于點M，先證CM=AH，再證HF=MF，從而證得結論成立．
請你任選一種思路，完整地書寫本小題的證明過程（如用兩種方法作答，則以第一種方法評分）；
（2）類比探究
如圖2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且D，E的運動速度之比是 ：1，求 的值；
（3）延伸拓展
如圖3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，記 =m，且點D，E運動速度相等，試用含m的代數式表示 （直接寫出結果，不必寫解答過程）．

Answer 1

【答案】
（1）

證明（選擇思路一）：過點D作DG∥BC，交AC于點G，如圖1所示：

則∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠ACB=60°，

∴∠ADG=∠AGD=∠A，

∴△ADG是等邊三角形，

∴GD=AD=CE，

∵DH⊥AC，

∴GH=AH，

∵DG∥BC，

∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，

在△GDF和△CEF中，

，

∴△GDF≌△CEF（ASA），

∴GF=CF，

∴GH+GF=AH+CF，

即HF=AH+CF

（2）

解：過點D作DG∥BC，交AC于點G，如圖2所示：

則∠ADG=∠B=90°，

∵∠BAC=∠ADH=30°，

∴∠HGD=∠HDG=60°，

∴AH=GH=GD，AD= GD，

根據題意得：AD= CE，

∴GD=CE，

∵DG∥BC，

∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，

在△GDF和△CEF中，

，

∴△GDF≌△CEF（ASA），

∴GF=CF，

∴GH+GF=AH+CF，

即HF=AH+CF，

∴ =2；

（3）

解： ，理由如下：

過點D作DG∥BC，交AC于點G，如圖3所示：

則∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，

∵AB=AC，∠BAC=36°，

∴∠ACB=∠B=∠ADG=∠AGD=72°，

∵∠ADH=∠BAC=36°，

∴AH=DH，∠DHG=72°=∠AGD，

∴DG=DH=AH，△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，

∴ =m， =m，

∴△DGH∽△ABC，

∴ =m，

∴ =m，

∵DG∥BC，

∴△DFG∽△EFC，

∴ =m，

∴ =m，

即 =m，

∴ = ，

∴ = = = ．

【解析】（1）過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證明△ADG是等邊三角形，得出GD=AD=CE，再證明GH=AH，由ASA證明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出結論；（2）過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證出AH=GH=GD，AD= GD，由題意AD= CE，得出GD=CE，再證明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出結論；（3）過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證出 DG=DH=AH，再證明△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，△DGH∽△ABC，得出 =m， =m，△DGH∽△ABC，得出 =m， =m，證明△DFG∽△EFC，得出 =m， =m， = ，即可得出結果．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的應用的相關知識，掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．