Question

【題目】如圖1，點P為∠MON的平分線上一點，以P為頂點的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點，如果∠APB繞點P旋轉時始終滿足OAOB=OP2 ， 我們就把∠APB叫做∠MON的智慧角．

（1）如圖2，已知∠MON=90°，點P為∠MON的平分線上一點，以P為頂點的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點，且∠APB=135°．求證：∠APB是∠MON的智慧角．
（2）如圖1，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，連結AB，用含α的式子分別表示∠APB的度數和△AOB的面積．
（3）如圖3，C是函數y= （x＞0）圖象上的一個動點，過C的直線CD分別交x軸和y軸于A，B兩點，且滿足BC=2CA，請求出∠AOB的智慧角∠APB的頂點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵∠MON=90°，P為∠MON的平分線上一點，

∴∠AOP=∠BOP= ∠MON=45°，

∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，

∴∠OAP+∠APO=135°，

∵∠APB=135°，

∴∠APO+∠OPB=135°，

∴∠OAP=∠OPB，

∴△AOP∽△POB，

∴ ，

∴OP2=OAOB，

∴∠APB是∠MON的智慧角

（2）

解：∵∠APB是∠MON的智慧角，

∴OAOB=OP2，

∴ ，

∵P為∠MON的平分線上一點，

∴∠AOP=∠BOP= α，

∴△AOP∽△POB，

∴∠OAP=∠OPB，

∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°﹣ α，

即∠APB=180°﹣ α；

過點A作AH⊥OB于H，連接AB；如圖1所示：

則S△AOB= OBAH= OBOAsinα= OP2sinα，

∵OP=2，

∴S△AOB=2sinα；

（3）

設點C（a，b），則ab=3，過點C作CH⊥OA于H；分兩種情況：

①當點B在y軸正半軸上時；當點A在x軸的負半軸上時，如圖2所示：

BC=2CA不可能；

當點A在x軸的正半軸上時，如圖3所示：

∵BC=2CA，

∴ ，

∵CH∥OB，

∴△ACH∽△ABO，

∴ = ，

∴OB=3b，OA= ，

∴OAOB= 3b= = ，

∵∠APB是∠AOB的智慧角，

∴OP= = = ，

∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，

∴點P的坐標為：（ ， ）；

②當點B在y軸的負半軸上時，如圖4所示：

∵BC=2CA，

∴AB=CA，

在△ACH和△ABO中，

，

∴△ACH≌△ABO（AAS），

∴OB=CH=b，OA=AH= a，

∴OAOB= ab= ，

∵∠APB是∠AOB的智慧角，

∴OP= = = ，

∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，

∴點P的坐標為：（ ，﹣ ）；

綜上所述：點P的坐標為：（ ， ），或（ ，﹣ ）．

【解析】（1）由角平分線求出∠AOP=∠BOP= ∠MON=45°，再證出∠OAP=∠OPB，證明△AOP∽△POB，得出對應邊成比例 ，得出OP2=OAOB，即可得出結論；（2）由∠APB是∠MON的智慧角，得出 ，證出△AOP∽△POB，得出對應角相等∠OAP=∠OPB，即可得出∠APB=180°﹣ α；過點A作AH⊥OB于H，由三角形的面積公式得出：S△AOB= OBAH，即可得出S△AOB=2sinα；（3）設點C（a，b），則ab=3，過點C作CH⊥OA于H；分兩種情況：
①當點B在y軸正半軸上時；當點A在x軸的負半軸上時，BC=2CA不可能；當得A在x軸的正半軸上時；先求出 ，由平行線得出△ACH∽△ABO，得出比例式： = ，得出OB=3b，OA= ，求出OAOB= ，根據∠APB是∠AOB的智慧角，得出OP，即可得出點P的坐標；
②當點B在y軸的負半軸上時；由題意得出：AB=CA，由AAS證明△ACH≌△ABO，得出OB=CH=b，OA=AH= a，得出OAOB= ，求出OP，即可得出點P的坐標．
【考點精析】本題主要考查了反比例函數的性質的相關知識點，需要掌握性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題．