Question

【題目】已知：如圖，在四邊形中，，，，，垂直平分.點從點出發，沿方向勻速運動，速度為；同時，點從點出發，沿方向勻速運動，速度為；當一個點停止運動，另一個點也停止運動.過點作，交于點，過點作，分別交，于點，.連接，.設運動時間為，解答下列問題：

(1)當為何值時，點在的平分線上？

(2)設四邊形的面積為，求與的函數關系式.

(3)連接，，在運動過程中，是否存在某一時刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)為4秒時，點在的平分線上；(2)S；(3)當秒時，.

【解析】

（1）根據勾股定理求AC，根據證，求出CD、OD的值，根據△BPE∽△BAC得到比例式，用含有t的代數式表示出PE、BE，當點E在∠BAC的平分線上時，因為EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE=EC，由此構建方程即可解決問題．
（2）根據S四邊形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC）構建函數關系式即可．
（3）證明∠EOC=∠QOG，可得tan∠EOC=tan∠QOG，推出，由此構建方程即可解決問題．

(1)在中，∵，，，

∴，

∵垂直平分線段，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，，

∵，，

∴∠BPE=∠BCA=90°

又∠B=∠B

∴△BPE∽△BAC

∴

即

∴，，

當點在的平分線上時，

∵，，

∴，

∴，

∴.

∴當為4秒時，點在的平分線上.

(2)如圖，連接，.

.

(3)存在.如圖，連接.

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

整理得：，

解得或10(舍)

∴當秒時，.